24 декабря Архивач восстановлен после серьёзной аварии. К сожалению, значительная часть сохранённых изображений и видео была потеряна. Подробности случившегося. Мы призываем всех неравнодушных помочь нам с восстановлением утраченного контента!
Сап, /б/, есть одна задачка. линейная алгебра, все дела Пусть А - квадратная матрица порядка n. Доказать, что если A^2 = E (единичной матрице), то сумма рангов матриц A + E и A - E равна n.
Какие выводы уже сделал: - Матрица А обратна сама себе, т.к. при возведении в квадрат дает единичную - Матрица А имеет ранг n (иначе она не могла бы иметь обратную матрицу) - Скриптом на numpy я прошерстил диапазоны для матриц 2 и 3 порядка и понял, что матрица А хитровыебанным образом составляется из 0 1 и -1 - Для случая 33 имеется 164 варианта матрицы А, для 22 имеется 14
В какую сторону думаю думать - если диагонализировать матрицу, то её ранг будет равен количеству ненулевых элементов на диагонали, а значения на диагонали равны собственным числам. Собственные числа получаются из приравнивания определителя матрицы, в которой собственные числа вычтены из диагонали, к нулю. Фактически, A + E и А - Е - это вычитание и прибавление к диагонали А единиц а что, если количество собственных чисел зависит от +1 или -1 к диагонали и каким-то образом этой сумме равняется n?
>>153881344 (OP) >- Матрица А имеет ранг n (иначе она не могла бы иметь обратную матрицу) ok. rangA = n; >сумма рангов матриц A + E и A - E равна n. n + E = n - E = n вот и всё
Пусть А - квадратная матрица порядка n. Доказать, что если A^2 = E (единичной матрице), то сумма рангов матриц A + E и A - E равна n.
Какие выводы уже сделал:
- Матрица А обратна сама себе, т.к. при возведении в квадрат дает единичную
- Матрица А имеет ранг n (иначе она не могла бы иметь обратную матрицу)
- Скриптом на numpy я прошерстил диапазоны для матриц 2 и 3 порядка и понял, что матрица А хитровыебанным образом составляется из 0 1 и -1
- Для случая 33 имеется 164 варианта матрицы А, для 22 имеется 14
В какую сторону думаю думать - если диагонализировать матрицу, то её ранг будет равен количеству ненулевых элементов на диагонали, а значения на диагонали равны собственным числам. Собственные числа получаются из приравнивания определителя матрицы, в которой собственные числа вычтены из диагонали, к нулю.
Фактически, A + E и А - Е - это вычитание и прибавление к диагонали А единиц
а что, если количество собственных чисел зависит от +1 или -1 к диагонали и каким-то образом этой сумме равняется n?
Пишу сюда, на /math/ 3,5 анона