>записывается как C_ij=A_ikB_kj (использовано соглашение о суммировании по немым индексам).
Это просто определение матричного произведения.
>Покрывает оба случая
Ты не видишь отличия определения выше от определения тензорного/скалярного произведения?
Может для начала попробуй разобраться просто на примерах конечномерных матриц, например 2на2 и 3на3, и векторов. Просто руками проделай умножения всякие и посмотри на разницу.
Потом если тебе надо будет уже осмыслишь это с алгебраической точки зрения, термины внешнее/внутреннее вводятся там.
Это просто определение матричного произведения.
>Покрывает оба случая
Ты не видишь отличия определения выше от определения тензорного/скалярного произведения?
Может для начала попробуй разобраться просто на примерах конечномерных матриц, например 2на2 и 3на3, и векторов. Просто руками проделай умножения всякие и посмотри на разницу.
Потом если тебе надо будет уже осмыслишь это с алгебраической точки зрения, термины внешнее/внутреннее вводятся там.
>Это просто определение матричного произведения.
Вектор есть матрица с одной из размерноестей равной 1, матрица есть тензор второго ранга, тензор есть вектор, так как для него выполняются свойства линейности. Поэтому и inner product, и outer product - это просто обычное матричное произведение.
>Ты не видишь отличия определения выше от определения тензорного/скалярного произведения?
Я вижу, что для матриц, векторов-столбцов и -строк это определение работает. Ставим вектора в порядке строка на столбец - получаем тензор размерности 1 1 - скаляр. Ставим вектора обратном порядке - получаем тензор размерности nm - результат outer product. Ставим матрицы в любом порядке - получаем произведение матриц. Зачем какие-то inner и outer произведения вводить?
>Может для начала попробуй разобраться просто на примерах конечномерных матриц, например 2на2 и 3на3, и векторов. Просто руками проделай умножения всякие и посмотри на разницу.
Да проделал я и руками, и функцию перемножения сваял, и проверил, работает и для inner и для outer.
С кронекенром же это просто визуализируют в виде двумерной матрицы, но 4 индекса выдают тензорное произведение с головой.
Вектор есть матрица с одной из размерноестей равной 1, матрица есть тензор второго ранга, тензор есть вектор, так как для него выполняются свойства линейности. Поэтому и inner product, и outer product - это просто обычное матричное произведение.
>Ты не видишь отличия определения выше от определения тензорного/скалярного произведения?
Я вижу, что для матриц, векторов-столбцов и -строк это определение работает. Ставим вектора в порядке строка на столбец - получаем тензор размерности 1 1 - скаляр. Ставим вектора обратном порядке - получаем тензор размерности nm - результат outer product. Ставим матрицы в любом порядке - получаем произведение матриц. Зачем какие-то inner и outer произведения вводить?
>Может для начала попробуй разобраться просто на примерах конечномерных матриц, например 2на2 и 3на3, и векторов. Просто руками проделай умножения всякие и посмотри на разницу.
Да проделал я и руками, и функцию перемножения сваял, и проверил, работает и для inner и для outer.
С кронекенром же это просто визуализируют в виде двумерной матрицы, но 4 индекса выдают тензорное произведение с головой.
Inner product берёт два вектора (матрицы nx1) и возвращает вектор (матрицу nx1), а матричное произведение, вообще говоря, такие матрицы не умножает. Точно так же outer product берёт два вектора (матрицы nx1) и возвращает матрицу nxn.
Вообще, пока мы остаёмся в координатах и с ортонормированным базисом в конечномерном пространстве - все эти определения действительно кажутся какими-то нагромождениями на пустом месте. Чтобы прочувствовать суть, нужно дать инвариантные определения без всяких базисов. При таком подходе вектор, линейный оператор и тензор - принципиально разные объекты и уже не получится просто так сказать что-то вроде: "скалярное произведение - это частный случай композиции линейных операторов".
Важно понять одну вещь: в современной трактовке линейной алгебры вектор, линейный оператор и матрица - принципиально разные объекты, между которыми установить естественную связь можно только в хороших случаях.
Вообще, пока мы остаёмся в координатах и с ортонормированным базисом в конечномерном пространстве - все эти определения действительно кажутся какими-то нагромождениями на пустом месте. Чтобы прочувствовать суть, нужно дать инвариантные определения без всяких базисов. При таком подходе вектор, линейный оператор и тензор - принципиально разные объекты и уже не получится просто так сказать что-то вроде: "скалярное произведение - это частный случай композиции линейных операторов".
Важно понять одну вещь: в современной трактовке линейной алгебры вектор, линейный оператор и матрица - принципиально разные объекты, между которыми установить естественную связь можно только в хороших случаях.
Почему матрицы умножаются так как они умножаются? Почему умножение матриц именно так определили?
>Почему умножение матриц именно так определили?
Если у нас есть ортонормированный базис, то любому линейному оператору f: V -> W можно сопоставить матрицу Af размера dim V x dim W. При том так, что если у нас есть два линейных оператора f : V -> W и g : W -> Z, то их композиции g o f : V - > Z будет соответствовать произведение матриц Ag Af. Потому что при таком определении умножение матриц соответствует композиции линейных операторов.
Короче говоря: умножение такое, потому что при таком умножении композиции линейных операторов соответствует произведение матриц.
Пост не отредактировал, поэтому кое-что по два раза повторено.
>Inner product берёт два вектора (матрицы nx1) и возвращает вектор (матрицу nx1),
ЩИТО? inner product умножает любую матрицу nl на любую матрицу lm и возвращает матрицу n*m.
например [1,2].[[3],[4]]=[[7]], [[3],[4]].[1,2]=[[3,6],[4,8]]
.
>а матричное произведение, вообще говоря, такие матрицы не умножает.
Умножает. Не веришь - проверь, формула в ОП-посте есть, да и примеры я привёл.
>Чтобы прочувствовать суть, нужно дать инвариантные определения без всяких базисов.
Если нет базиса, то нет и линейного пространства. если базис есть, то по нему всегда можно разложить хоть вектор, хоть матрицу, хоть тензор любого ранга, так как хоть матрица, хоть тензор изоморфны одномерному вектору.
>Важно понять одну вещь: в современной трактовке линейной алгебры вектор, линейный оператор и матрица - принципиально разные объекты, между которыми установить естественную связь можно только в хороших случаях.
Поможешь?
ЩИТО? inner product умножает любую матрицу nl на любую матрицу lm и возвращает матрицу n*m.
например [1,2].[[3],[4]]=[[7]], [[3],[4]].[1,2]=[[3,6],[4,8]]
.
>а матричное произведение, вообще говоря, такие матрицы не умножает.
Умножает. Не веришь - проверь, формула в ОП-посте есть, да и примеры я привёл.
>Чтобы прочувствовать суть, нужно дать инвариантные определения без всяких базисов.
Если нет базиса, то нет и линейного пространства. если базис есть, то по нему всегда можно разложить хоть вектор, хоть матрицу, хоть тензор любого ранга, так как хоть матрица, хоть тензор изоморфны одномерному вектору.
>Важно понять одну вещь: в современной трактовке линейной алгебры вектор, линейный оператор и матрица - принципиально разные объекты, между которыми установить естественную связь можно только в хороших случаях.
Поможешь?
>ЩИТО? inner product умножает любую матрицу nl на любую матрицу lm и возвращает матрицу n*m.
Где ты такое прочитал?
>Если нет базиса, то нет и линейного пространства.
Где ты такое прочитал? Предъяви мне хотя бы один базис линейного пространства, состоящего из всех непрерывных функций на отрезке [0..1] (доказано, что, грубо говоря, его явную конструкцию предъявить невозможно, можно только доказать его существование, опираясь на некоторую очень сильную аксиому теории множеств).
>Поможешь?
Конечно. Идешь на википедию, или скачиваешь учебник Винберга, Констрикина-Манина или Axler'а и читаешь определение векторного пространства, матрицы, линейного оператора, а потом останется только заметить, что никакой естественной связи между ними нету.
>Inner product берёт два вектора (матрицы nx1) и возвращает вектор (матрицу nx1)
Скаляр, конечно, тут я заговорился.
Скаляр, конечно, тут я заговорился.
>Констрикина-Манина
Просто Кострикина. Кострикин-Манин про это подробно не пишет.
Понятно, спасибо. Будут ещё вопросы - отпишусь.
>матрица есть тензор второго ранга
Дальше не читал, сори. Контрпример твоему утверждению матричное представление любого спинора, см. Дираковский/Вейлевский.
Я тебе говорю, разберись сначала с определениями, ты явно не понимаешь что такое тензор. Это по-сути геометрическое понятие и ты не понимаешь его смысла. Начни с того, что разберись где разница между вектором и псевдовектором.
Возьми для примера градиент какого-нибудь поля, убедись, что это на самом деле не вектор и пойми почему.
Серьёзная книга: Дубровин, Новиков, Фоменко,. "Современная Геометрия". Её есть за что поругать, но на начальном уровне там ошибок нет.
Научно-популярная книга: Арнольд "Геометрия комплексных чисел кватернионов и спинов"
Дай, пожалуйста, строгое определение псевдовектора на языке алгебр Грассмана.
ворвался в дискуссию
То есть я действительно не знаю такого определения, а в википедии написана муть. Спрашиваю всерьёз.
Всерьёз спроси у математиков. Я обычный физик и единственная Грассманова алгебра с которой я встречался это алгебра которая возникает при квантовании фермионных полей, и то почти во всех задачах мы рассматриваем не алгебру, а какое-то конкретное представление.
Мне хватает убогого координатного взгляда на псевдотензоры, что это тензоры, которые при отражении знак меняют. Думаю ОПу для начала такой взгляд тоже подойдёт.
Если мне кто-то объяснит про алгебры, буду благодарен. Концептуально, чтобы ввести векторы на гладком многообразии много не надо, взяли группу Ли, взяли её касательное расслоение в единице, кажется, что уже ввели вектора, то есть они и есть элементы этого расслоения. Понятно, что взяв разные алгебры, мы таким построением получим разные структуры, но как это будет зависеть от самих свойств этих алгебр мне даже не понятно как исследовать. И вообще мне тут как человеку без мат.образования СЛИШКОМ СЛОЖНА, потому что ни в одной книжке для математиков не показывают явно связи с связностью (через символы Кристофеля) и метрикой (через метрический тензор). А в физических книжках наоборот обсуждается только эти два понятия, потому что физикам ничего не важно кроме геометрии.
Или вот кронекерово произведение, которое на деле оказалось тензорным произведением C_ijkl=A_ijB_kl.
При этом внешнее произведение векторов также называют тензорным, хотя как мы убедились, оно нихуя не тензорное, просто для одного частного случая даёт идентичные результаты.
Уверен, есть дофига ещё произведений.
Короче, поясните, что есть что.