Вот тут у тебя ошибка:
> Децл = arccos(1/1000) - тогда вообще все косинусы рациональные
cos(2a) не равно 2cos(a)
> Децл = arccos(1/1000) - тогда вообще все косинусы рациональные
cos(2a) не равно 2cos(a)
Э... что? 0.666 - рациональное число (можно представить в виде дроби 666/1000). Арккосинус этого числа дает угол. Косинус этого угла дает рациональное число 0.666.
Я про то, что ты сам пишешь
> прибавлять к этому углу децл и считать косинусы
Косинус арккосинуса(1/1000), умноженного на два, не равен 2/1000.
Понял. Спишем на невнимательность.
Тогда можно так сформулировать вопрос: есть ли такой децл, чтобы все косинусны были рациональными (или наоборот - иррациональными)?
Как считать чему равно cos 2, cos 3, cos 4, sin 2, sin 3, sin 4...Это просто количество оборотов в единичной окружности? Т.е везде функции равны значению функции от единици?
Действительные (и рациональные, и нет) числа несчётны. Рациональность зависит от точности твоего указательного пальца, выбирающего точку на числовой оси.
(Количество рациональных и нерациональных чисел будет определяться лишь способом их выбора.)
Это число радианов. Одна окружность - 2pi радиан.
для децла pi/1 все числа рациональные.
И для pi/2.
И для pi/5 почти все иррациональные кроме cos(5(pi/5)).Но абсолютно иррационального ряда и быть не может, т.к для произвольного n,существует cos(n(pi/n))=1
Так же ряд вида: cos(n(pi/k!)) при n=1,2.....k! включает в себя все ряды вида cos(n(pi/c)), где n=1,2.....c и c<k.
Моя гипотеза такова: не существует рациональных рядов вида cos(n*(pi/x)) при n=1,2.....x, кроме cos(n(pi/2)) и cos(n(pi/3)).
Для децла pi/4: 1010101...
То есть: 0101010...
Занятно, для pi/4:0101.. , для pi/9:001001... , более того для pi/16: 00010001.... Можно предположить , что для pi/(x^2), ряд выглядит как: x-1 нулей, единица, x-1 нулей, единица...
Вообщем вот все ряды pi/x до десяти(выписана часть, которая далее повторяется):
1: 1..
2: 11...
3: 111...
4: 0101...
5: 00001...
6: 011101...
7: 0011001...
8: 10010011...
9: 001001001...
10:0000100001...
1: 1..
2: 11...
3: 111...
4: 0101...
5: 00001...
6: 011101...
7: 0011001...
8: 10010011...
9: 001001001...
10:0000100001...
pi/x^3 для всех x кроме 2:единица, x^2-1 нулей, единица, x^2-1 нулей...
Упс, ошибся, это не верно 64: 00000001...
Найди метод построить угол в 20° линейкой и циркулем, и подавай заяву на нобелевку!
>Количество рациональных и нерациональных чисел будет определяться лишь способом их выбора.
Вопрос не в количестве, а в том, как они чередуются. Способ выбора вполне конкретно озвучен.
>Но абсолютно иррационального ряда и быть не может
Децл=1?
Теорема Нивена: http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html
Да, и из теоремы Линдемана-Вейерштрасса (https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem) немедленно следует, что если x - алгебраическое ненулево число, то sin(x) трансцендентно (в том числе и иррационально).
Эти две теоремы отвечают на большую часть поставленных вопросов в стартовом посте.
Эти две теоремы отвечают на большую часть поставленных вопросов в стартовом посте.
И?
Что и?
>А если, например, взять децл = pi/987?
То, по теореме Нивена, в ряду sin(n pi/987) n = 1, 2, 3, ... все будут иррациональными. В общем случае, если sin(n pi/m) будет рациональным тогда и только тогда, когда оно может быть представлено как:
n pi/m = pi k
n pi/m = +-pi/2 + 2pik
n pi/m = +-pi/6 + 2pik
>И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?
Можно выбрать сколь угодно малое алгебраическое число, а для алгебраических чисел такой ряд будет выглядеть как 000000... Для некоторых трансцендентных ряд не будет строго нулевым.
Я ничего не сказал про:
>Или не обязательно pi, а еще чего-нить.
Но по мне так вопрос очень размыт.
Про это: "А есть ли такой децл, чтобы это чередование выглядело как 10101010... ?", - ещё подумаю.
>А если, например, взять децл = pi/987?
То, по теореме Нивена, в ряду sin(n pi/987) n = 1, 2, 3, ... все будут иррациональными. В общем случае, если sin(n pi/m) будет рациональным тогда и только тогда, когда оно может быть представлено как:
n pi/m = pi k
n pi/m = +-pi/2 + 2pik
n pi/m = +-pi/6 + 2pik
>И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?
Можно выбрать сколь угодно малое алгебраическое число, а для алгебраических чисел такой ряд будет выглядеть как 000000... Для некоторых трансцендентных ряд не будет строго нулевым.
Я ничего не сказал про:
>Или не обязательно pi, а еще чего-нить.
Но по мне так вопрос очень размыт.
Про это: "А есть ли такой децл, чтобы это чередование выглядело как 10101010... ?", - ещё подумаю.
Они не чередуются. Между двумя отличающимися действительными числами бесконечное количество рациональных и иррациональных.
>тогда и только тогда, когда оно может быть представлено как:
Ещё два семейства решений забыл
5pi/6 + 2pik
7pi/6 + 2pik
Он рационален.
cos(n*(pi/x)) при x=0,5
000000001000...
000000001000...
А для 0,05
000000....01100....
Две единицы в 90 и 91 позиции.
А еще в 98 и 45 позиции.
Но в принципе, можнно сказать, что в ряд cos(n*(pi/x)) при
X->бесконечности стремится к 00000000.....
Попробуй в вопрос вникнуть.
Если считать косинусы cos(n × pi/12) для каждого n (где n - целое число от нуля и далее) - получим последовательность (чередование) 1000101010001000101010001..., где 1 - рациональное число, 0 - иррациональное.
То есть, понятно, что между теми корень_из_трёх_на_два (cos30°) и корень_из_двух_на_два (cos45°) можно налепить бесконечное множество как рациональных, так и иррациональных чисел. Но они в нашей выборке cos(n × pi/12) не участвуют.
Дальше, как я понял товарища Нивена , если брать косинусы от чисел, кратных pi/m - на окружности получится максимум 8 рациональных косинусов.
Дальше, как я понял товарища Вейерштрасса , если брать косинусы от бесконечно маленьких рациональных чисел - получатся только иррациональные косинусы.
Ну а если это число не рациональное? Ну пес его знает, какое-нить exp(1)/infinity или sqrt(10)/infinity или еще чего-нить в таком роде.
Ну и опять же, между 0 и 1 на числовой оси можно налепить сколько угодно рациональных/иррациональных точек. Можно выбрать из них два числа - одно иррациональное, другое - рациональное, которые находятся очень близко друг к другу. Дальше посчитать разницу между косинусами, которые дают эти числа. Получится такой очень децльный угол. И дальше к вот тому углу (косинус которого дает рациональное число) добавлять этот угол целое число раз - получится ли на окружности найти другие углы, косинусы которых дают тоже рациональное число? Или опять Нивен насрет в душу и окажется, что их там не больше 8-ми, как не крути? Ну тогда мы насрем этому Нивену на голову и выберем два рациональных числа, которые очень близко... и дальше по тексту
Так оно понятно, что если x стремится к бесконечности - пока он там доберется до 60° - можно трижды состариться и сдохнуть.
Мне бы, понял, алгоритм такой, чтобы можно было табличку нарисовать - как в случае с взаимно-простыми числами. По X - одно число, по Y - другое число, на пересечении пиксель черный или белый (в зависимости от того, взаимно-простые они или не очень). Быстро, стильно, молодежно и дальше уже чисто визуально ищем закономерность. Вот так же и для cos(n*m) если бы сделать. Чтобы по X - вот то pi/x или sqrt(10)/x, а по Y - n. И тоже отметить, где они там рациональные. Только вот мой Бейсик не умеет в рациональное/иррациональное. Он всё округляет.
CAS в виде библиотеки юзай в своём бейсике. Или пиши программу в CAS.
>CAS в виде библиотеки юзай в своём бейсике.
В мой "бейсик" такую приблуду не завезли.
>Или пиши программу в CAS.
Типа Maple?
Угу.
>децл
δ-ецл
Говоря о ряде cos(n(pi/x)) при n=1,2....x
Если x представим в виде x=mn где x,m,n целые, то в позициях ряда кратных n, находится символ(0 или 1) соответствующий f/n-ой позиции в ряду m. (Где f, текущая кратная позиция.) Например:
6=3*2, все позиции кратные двум соответствуют позициям из ряда 3
Ряд 3: 111111....
То есть во всех позициях кратных двум стоит единица:
Набросок ряда 6:
@1@1@1...
То же во всех позициях кратных 3
@111@1@111@
Подобным образом можно конструировать ряды.
Если x представим в виде x=mn где x,m,n целые, то в позициях ряда кратных n, находится символ(0 или 1) соответствующий f/n-ой позиции в ряду m. (Где f, текущая кратная позиция.) Например:
6=3*2, все позиции кратные двум соответствуют позициям из ряда 3
Ряд 3: 111111....
То есть во всех позициях кратных двум стоит единица:
Набросок ряда 6:
@1@1@1...
То же во всех позициях кратных 3
@111@1@111@
Подобным образом можно конструировать ряды.
То же для ряда 8:
8=4*2
Во все позиции кратные 2 копируется ряд 4
@0@1@0@1@0...
Тригонометрические функции есть суммы экспонент, то бишь трансцендентных функций. Значит, они будут выдавать иррациональные а может и трансцендентные значения в рациональных точках 0 может быть исключением, и рациональные в трансцендентных.
Ряд 9:
Каждая третья позиция единица( по предыдущему алгоритму 9=3*3)
@@1@@1@@1
При простых разложениях (на два простых множителя)
10=25
9=33
@ заменяется на 0
Из предыдущего примера:
001001001001001....
Это же объясняет закономерность из
поста.
10=2 умножить на 5
9=3^2
Фикс.
Картинку нарисовал. Смотри, берем две рандомные точки на оси X. Причем такие точки, чтобы:
1. Координаты эти точек можно записать в виде дроби;
2. Расстояние между точками ->0
3. Точки находятся между координатами 0 и 1.
Дальше рисуем окружность с радиусом 1 и центром в точке (0, 0). Отмечаем наши две точки на этой окружности и получаем два угла. Разница этих углов = дельта. Вот эта дельта - бесконечно маленький угол.
Дальше, что мы про этот угол знаем.
Он не кратный числу pi, то есть нельзя записать pi=k×дельта. (Это умозаключение можем сделать из теоремы Нивена . Из Нивена имеем, что если угол кратный числу pi - на окружности можно нарисовать 8 точек, косинусы которых - рациональные числа. Ближайшие две такие точки находятся на расстоянии 30°. В нашем же случае имеем бесконечно маленькое расстояние).
Отсюда можно сделать интересный вывод. Если отмерять этот угол дельта×n, где n=1, 2, 3, ... от начала координат - он никогда не сделает оборот = k×pi, проскочит 0° и пойдет делать следующий круг. Так до бесконечности (даже если этот угол не бесконечно маленький, а равен 1 радиану, например).
Идем дальше. Чтобы не упираться в теорему Вейерштрасса (пока не ясно - рациональный этот угол дельта или иррациональный (но как минимум один из углов альфа и бета - иррациональный)), будем отмерять этот угол дельта не от нулевого угла, а от угла альфа. Косинус угла альфа - рациональное число. Следующий угол альфа+дельта×n (n=1) - угол бета. Косинус этого угла тоже рациональное число. А дальше не понятно. Косинус следующего угла - рациональный или не очень? А следующего после следующего? А будут ли там еще рациональные косинусы? А если будут - в какой последовательности они чередуются с иррациональными? А если, допустим, этот угол дельта у нас таки иррациональный и отмерять мы его будем не от угла альфа, а от нулевого угла - как тогда изменится ситуация?
Я не понял вопроса.
Почему некоторые косинусы/синусы/котангенсы/понел да будут иметь вид бесконечной дроби? Так это вопрос уровня почему числа бесконечны. Потому что так надо, исходя из обычных лгических предпосылок.
Почему некоторые косинусы/синусы/котангенсы/понел да будут иметь вид бесконечной дроби? Так это вопрос уровня почему числа бесконечны. Потому что так надо, исходя из обычных лгических предпосылок.
Охуительная история. Завтра в бога начнем верить.
А теперь попробуй вникнуть ты.
НЕТ НИКАКОГО ЧЕРЕДОВАНИЯ
Есть отрезок [0,1] любое число из которого соответствует косинусу какого-то угла. Между любыми двумя рациональными числами из этого отрезка лежит бесконечно много иррациональных. Вот и все чередование. Косинусы тут вообще ни при чем.
B хули тебе толку с рациональных косинусов? Ты же начал с того, что хочешь сделать какую-то табличку
>Вот так же и для cos(n*m) если бы сделать
Но у рационального косинуса будет иррациональный угол и как ты будешь этот иррациональный угол писать в свою табличку?
Можно я в тебя чем-то тяжелым брошу? Функция у нас не непрерывная, а вполне дискретная. При задании вполне конкретного шага дискретизации cos(n×децл), где n - целое число (1, 2, 3, ... и т.д.) - получаем вполне конкретные значения функции, которым соответствуют вполне конкретные рациональные или иррациональные точки на оси y. Все, что лежит между этими точками - нас никоим образом не ебёт.
>И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?
Рациональных косинусов счетное множество, иррациональных континуум.
/тхреад
Конечно есть. Например pi/2.
>хули тебе толку с рациональных косинусов?
Чтобы выяснить, что то за хуйня такая - число Pi, и почему оно иррационально.
>Рациональных косинусов счетное множество
Найс стори, /b/ро. Между 0 и 1 можно бесконечное число рациональных точек налепить, косинус арккосинуса которых будет рациональным числом.
Бог не играет в кости.
Альберт, залогинься
Ади, ступай рисовать.
>Чтобы выяснить, что то за хуйня такая - число Pi, и почему оно иррационально.
А ведь ты не из тех, кто ищет легких путей.
Ади?
Эти пидоры не оценили по достоинству мои рисунки.
Эти пидоры теперь могут жениться друг на друге вместо эвтаназии, Ади.
Эх, вот в мои времена всё было по-другому...
Что делать с кубами, 2^3 например, пока не понятно.
А если, скажем, с другой стороны к вопросу подойти. С точки зрения неевклидовой геометрии.
Чта?
Чуть не утонуло
А давай-ка возьмём определение косинуса через ряд Тейлора? Каким образом бесконечный степенной ряд может отобразить рациональные числа - в иррациональные и наоборот? Еще можно через формулу Эйлера мнимой экспоненты накатить.
Функан-матан-братья, помогите.
не-оп
Функан-матан-братья, помогите.
не-оп
Опять утопили. Где все математики?
Так с задачей ведь всё понятно, я же даже расписывал как-то в этом треде. Если мы берём шаг соизмеримым с pi - то абсолютно ясно как себя последовательность будет вести (все рациональные q при которых sin(q pi) рационально описаны). Если шаг не соизмерим с pi - то видимо, сколь либо серьезного анализа провести вообще нельзя. Близость/неблизость шага к нулю не при чём абсолютно.
Всплыло говно.
For a, b relatively prime integers (with b > 0), then sin(aπ/b), cos(aπ/b), and tan(aπ/b) are rational only at the obvious values of a/b (in particular,b can not be other than 1,2,3,4, or 6)
https://editorialdinosaurio.files.wordpress.com/2012/03/itn-niven.pdf
Теорема 6.16 вот тут.
For a, b relatively prime integers (with b > 0), then sin(aπ/b), cos(aπ/b), and tan(aπ/b) are rational only at the obvious values of a/b (in particular,b can not be other than 1,2,3,4, or 6)
https://editorialdinosaurio.files.wordpress.com/2012/03/itn-niven.pdf
Теорема 6.16 вот тут.
however
Печально это.
Сразу тапками не кидайте - я не до конца соображу, как правильно (понятно) вопрос сформулировать, не говоря уже о том, чтобы самому нагуглить.
Вопрос в том, как чередуются на окружности рациональные/иррациональные косинусы (или синусы - не суть). Смотри, если взять скажем 0°, прибавлять к этому углу децл и считать косинусы - получаются чередующиеся рациональные/иррациональные числа. Например, если децл = pi/6, получим:
Cos(0) - рациональное число
Cos(30) - иррациональное
Cos(60) - рациональное
Cos(90) - рациональное
Ну и, допустим, обозначить иррациональные ноликами, а рациональные - единичками. Получается последовательность 1011101011101, пока вся эта ебалайка не сделает полный круг.
Если брать децл = pi/12, получаем другую последовательность: 1000101010001000101010001.
А если, например, взять децл = pi/987? Или не обязательно pi, а еще чего-нить. Децл = arccos(1/1000) - тогда вообще все косинусы рациональные. А есть ли такой децл, чтобы это чередование выглядело как 10101010... ?
И самое главное - как будет выглядеть вот эта чередовина рациональных/иррациональных чисел, если децл->0?