Анон, а каковы твои реальные познания в математике? Что ты умеешь? Перечисли.
Умножать по Рыбникову.
Так. Ну я знаю таблицу умножения, знаю таблицу производных и интегралов. Могу решить квадратное уравнение, могу систему линейных уравнений методом Гаусса. Могу находить координаты вектора в другом базисе. Матрицы могу перемножать, само собой. Умею выводить тригонометрические формулы из формулы Эйлера. Хорошо знаю обычную теорию множеств. Умею решать обыкновенные дифуры с разделяющимися переменными. Знаю определение группы и топологического пространства. Могу доказать основные теоремы матанализа за 1 семестр.
Я нихуя не знаю, но люблю математику. Отношу себя к первой культуре. Говорю про гомологии, поливаю говном инженеробыдло, читаю бложик Вербита.
>Я нихуя не знаю
>Отношу себя к первой культуре
Вся суть первокультурщиков.
Ты даун?
Это пиздец грустно на самом деле, анон. Вроде бы хотел сказать что что-то могу, вроде какую-то статистику для биологов делал, линал вроде в графике использовал, типа ТМО в нагрузочном тестировании там. А по факту нихуя кроме картафана из универа не помню. Стыдно и тленно что такой великовозрастный долбоёб как я всё проебал.
мимо-второкультурщик
Ей, ты уже знаешь много. Не огорчайся. И не воспринимай вскукареки школьников, типа этого в серьёз.
Ну этот школьник очевидно троллит. А вообще у меня разрыв шаблона на самом деле насколько математика первой культуры с матфака отличается от той которой учили нас прикладников. Слушаю лекции Вавилова и рыдаю как побитая шлюха.
>слау методом Гаусса
Картафан же
Знаешь, тебе не стоит грустить. Ты ведь всё равно можешь наслаждаться изучением математики.
Сейчаст сделаю уточнение.
>Вся суть первокультурщиков.
Вся суть первокультурщиков уровня /math.
Всё, что у него, но ещё могу в часть комбинаторных задача и диффуры не только с разделяющимися переменными. А ряды Тейлора, Фурье знаешь? Сможешь доказать для каких-нибудь простеньких рядов, сходятся они или нет?
Толсто. Тут, кстати, много говорят про гомологии, но мне хотелось хотя бы раз услышать, как кто-нибдуь бы объяснил по-человечески, что это такое.
Я могу в признаки сходимости. Даламбер, Коши, Раабе, вот это всё. Фурье, пожалуй, нет.
Считать ящик
хороший студент по Крамеру ебашит!
Могу к этим ребятами добавить шары Данделена, полиномы Ньютона, Лагранжа и даже Лежандра, матричные уравнения, ранг, уравнения в кольцах вычетов, корни из комплексных чисел...
шары Данделена - это вообще про что?
Типа такого.
есть конус, в нем сечение-перегородка, в каждой из частей по две сферы. Эти сферы как-то характеризуют конические сечения, этот факт почему-то считается весьма замечательным.
Не ври. Это открытая математическая проблемма.
Математика - гуманитарная дисциплина ведь.
Прикладная философия, не иначе.
Я погромизд, и у меня даже от простейшего уравнения школьного с комплексными числами мозг рвёт.
>Я погромизд
Вебмартышка, please.
С чего ты решил?
Характерный дебилизм уровня /зк. Вебмартышка и есть, соболезную.
Может, и дебилизм, но на счёт вэб-разработки ты не угадал.
Я борщехлёб и у мамки на шее сижу.
Гомологии, грубо, это то, насколько разные объекты похожи друг на друга. Независимость интегральчика от пути - это класс гомологий, число дырок в пространстве - это опять класс гомологий, и т.д.. Т.е., это такое универсальное отношение эквивалентности на объектах самой разной природы. Возникла вся эта ебола когда-то из алтопа и интегральчиков, потом бурно разрослась с изобретением категорий и выделилась в нечто самостоятельное - гомологическую алгебру. Последняя - это своего рода универсальный тулбокс, который можно использовать в разных областях типа очевидного алтопа, алгема, теории групп (гомологическая теория групп) и ещё хуй знает где. Основной объект изучения там цепные комплексы и их (ко)гомологии, всё это обычно проворачивается в категории модулей. Очень общо и рукомахательно можно смотреть на гомологии, как на средство, которое позволяет выяснить, обладает ли данный объект интересующим нас свойством или нет (этому мешает какое-то препятствие). Штука дохуя абстрактная и посему не самая непростая, разросшаяся всякими ужасами типа спектральных последовательностей, К-теорий, кобордизмов и всего такого. Можно хуесосить теоретико-множественных дидов.
О, охуенно. Реквестируем еще таких вот историй, где на пальцах объясняется, что за хуйня и для чего нужны какие-нибудь другие объекты.
Ну и про гамалогии тема таки не раскрыта. После "универсальное отношение эквивалентности" у тебя спросят, чем это отличается от изоморфизма.
Хочешь знать, что такое гомологии? Группа гомологий это фактор-группа группы циклов по группе границ. Все, это так просто.
Давай начнем с понятия точной последовательности. Это, собственно, последовательность некоторых объектов с направленными стрелочками между ними. По определению, в точной последовательности образ предыдущего объекта равен ядру следующего. В (ко)гомологиях имеют дело с цепными комплексами, где это требование ослаблено – образ предыдущего является подгруппой ядра следующего.
Ядро это мн-во элементов, переходящих в нейтральный. Образ – то, куда переходит что-то. То, откуда что-то приходит – прообраз.
С этим разобрались, рассмотрим цепной комплекс:
... C(3) –> C(2) –> C(1) –> C(0) –> 0
Где каждая стрелка это граничный оператор: ..., d(3), d(2), d(1), d(0).
C(0) это нуль-мерные циклы – точки, C(1) одномерные – линии, далее двумерные клетки, трехмерные шары, и тд.
Ядро оператора ker d(1) назовем группой циклов Z(1). Она лежит в C(1).
Образ оператора im d(2) назовем группой границ B(1). Она тоже лежит в C(1).
Таким образом первые гомологии данного комплекса это фактор Z(1) по B(1).
В общем-то это такой способ находить дырки на симплициальных объектах, конечно. При этом нулевые C(0) гомологии отвечают за то, что объект является цельным куском, не имеет других компонент связности.
Что такое когомологии? Да то же самое почти, только вместо фактора ker dn по im dn+1 фактор ker dn по im dn-1. Словом, комплекс развернут и идет к нулю, а от нуля. Зачем нужны когомологии, если есть гомологии?
Ну во-первых это кольцо, а не просто коммутативная группа. Больше структуры. Но и больше интуиции: гомологии соответствуют отображению пространств, когомологии – линейным функционалам. Когомологии более естественные, в некоторои роде.
Есть еще двойственность Пуанкаре, утверждающая это k-е когомологии это (n-k)-е гомологии. Так-то.
>C(0) это нуль-мерные циклы
*цепи.
>При этом нулевые C(0) гомологии
H(0) в смысле. Указал, чтобы не путали с ситуацией, когда H(N) = 0. Для n > размерности комплекса это ситуация типичная.
>комплекс развернут и идет не к нулю, а от нуля.
Извиняюсь за ошибки, писал с телефона.
Извиняюсь за ошибки, писал с телефона.
Нормас. Можно было бы про симплициальные гамалогии в лицах рассказать для пущей наглядности, но раз с телефона, то ладно.
Ок, ясно, вот есть 1-ые гомологии, 2-ые гомологии... но если я не вижу связь между между ними и дырками, то я бездарный дебил?
Нет, всё в порядке. Просто нет привычки. 1-е, 2-е и вообще n-е гомологии - это дырки соответствующих размерностей. Допустим, у сферы все группы кроме нулевых и вторых гомологий (H0, 2(S2) = Z) тривиальны. Т.е., у S2 "внутри" 3-мерная дыра. Пустота, ограниченная этой самой сферой. У тора H1 = Z×Z, H0, 2 = Z. Представь, что ты мысленно последовательно разбиваешь сферу на, кхм, подпространства: точка (нульмерная клетка), лист (2-мерная клетка). Этот лист кагбе оборачивает дырку. С тором чуть сложнее. Тут уже две окружности (1-мерные клетки), натянутый на них лист (2-мерная клетка). Это неформальное объяснение, конечно. Если интересны детали, google симплициальные гомологии. Обычно это самые первые и простые примеры. Поймёшь, откуда группы и почему именно Z в данном случае.
Теперь чутка более ясно. Но мне пока рано такое, я в векторных пространствах копошусь, дошёл вот до двойственного.
Но мне ещё многое другое не ясно. То есть вот аксиомы поля появились из свойств Q, R и C. В них заданны 2 операции. Но если рассмотреть Q(можно взять кольцо Z, с ним более наглядно) с дефолтными операциями + и ·, то ведь · определяется через + (a·b = a + a + a + ... + a), ведь тогда выходит задана только 1 операция: + . Почему задаются + · как 2-е разных, причем в аксиомах не сказано, что · имеет больший приоритет(или я что-то не вижу), но это используется.
Далее не ясно, как додумались до, к примеру, факторгрупп, ну может для Теоремы Лагранжа, или как класс эквиволентности и можно было придумать, но всё же. Всё это кажется простым, но сам бы до этого навряд ли додумался из-за этого чувствую себя имбецилом. Та же история с разрешимыми группами. Хотел прочесть, как Галуа писал, но его работы только на французском нашел(я не знаю французский), а в обзорах кратко пишут, что он просто взял группу перестановки корней, установил, что если корней > 4, то коммутант коммутанта никогда не станет {e}(дальше идет, что функции выражаемые через радикалы имеют разр. группу галуа). С чего он взял, что нужно брать коммутант коммутанта, вот это мне не ясно.
Сложение и умножение это разные операции, например у них разные нейтральный и обратный элементы – 0, –a у сложения и 1, 1/a у умножения. Геометрически сложение это сдвиг числовой оси, а умножение – растяжение её.
Начни с абелевых групп. Они могут быть аддитивными или мультипликативными. Аддитивная абелева группа + операция умножения (не обязательно коммутативная, ассоциативная или с нейтральным элементом) + дистрибутивность это кольцо. Возьми кольцо + все что в скобках + возможность делить (обратный элемент по умножению, исключая 0) получишь поле.
Бля, дошло, что если +(a,b) != ·(a,b), то это 2 разные операции, даже если ·(a,b) можно как-то представить через + (а это сделать можно всегда если (G,+) группа). Подозревал об этом, но запутался просто. Спасиб.
Далее, абелеву группу по сложению вместе с операторами назовем модулем, если элементы модуля можно складывать между собой и умножать на операторы, а операторы образуют кольцо.
Если операторы образуют поле, назовем модуль векторным пространством, элементы модуля – векторами, операторы – скалярами.
В общем векторное пространство это модуль над полем (или телом – полем без коммутативности).
Абелева группа это модуль над Z, например, или над кольцом эндоморфизмов. Каждый идеал в выбранном кольце это модуль, и каждый модуль это идеал какого-то другого кольца. Модуль, который сам является кольцом, назовем алгеброй. Всякое поле это алгебра над своим подполем, а Z это алгебра над Z.
Идеал для кольца это по сути то же самое, что нормальная подгруппа для группы. В арифметике циферблата (сравнения по модулю 12 – кстати слово "модуль оттуда же) идеал это класс {..., –12, 0, 12, 24, 36, ...}. Умножая элементы из любых других 11 классов на элемент из идеала, получим элемент из идеала. Это и есть определение.
Исторически идеалы возникли из неверного доказательства Куммером теоремы Ферма, где он опирался на единственность разложения на простые сомножители в Z, что оказалось неверным вообще. Тогда Куммер построил идеальные числа как частный случай, а Дедекинд обобщих их в идеал кольца. Про это вроде есть в книге Постникова "Алгебраические числа". Собственно модуль это обобщение понятия идеала (а так же абелевой группы и векторного пространства) а по совместительству – главное понятие в математике алгебре.
Если операторы образуют поле, назовем модуль векторным пространством, элементы модуля – векторами, операторы – скалярами.
В общем векторное пространство это модуль над полем (или телом – полем без коммутативности).
Абелева группа это модуль над Z, например, или над кольцом эндоморфизмов. Каждый идеал в выбранном кольце это модуль, и каждый модуль это идеал какого-то другого кольца. Модуль, который сам является кольцом, назовем алгеброй. Всякое поле это алгебра над своим подполем, а Z это алгебра над Z.
Идеал для кольца это по сути то же самое, что нормальная подгруппа для группы. В арифметике циферблата (сравнения по модулю 12 – кстати слово "модуль оттуда же) идеал это класс {..., –12, 0, 12, 24, 36, ...}. Умножая элементы из любых других 11 классов на элемент из идеала, получим элемент из идеала. Это и есть определение.
Исторически идеалы возникли из неверного доказательства Куммером теоремы Ферма, где он опирался на единственность разложения на простые сомножители в Z, что оказалось неверным вообще. Тогда Куммер построил идеальные числа как частный случай, а Дедекинд обобщих их в идеал кольца. Про это вроде есть в книге Постникова "Алгебраические числа". Собственно модуль это обобщение понятия идеала (а так же абелевой группы и векторного пространства) а по совместительству – главное понятие в математике алгебре.
>единственность разложения на простые сомножители в Z, что оказалось неверным
Лолчто? Z - факториальное кольцо.
>С чего он взял, что нужно брать коммутант коммутанта
вообще там была старая техника Лагранжа, когда из исходного уравнения строились уравнения для произведения корней более низкого порядка. например, для квадратног уравнения переходят к линейному уравнению первого порядка.
от произведения корней Галуа перешел к коммутаторам. и тогда схема решения уравнения превратилась в построение коммутаторов крней все большего порядка, а степень уравнения для коммутаторов должна падать до первой - если уравнение разрешимо в радикалах.
вообще Галуа творил не на пустом месте, как принято считать.
Куммер рассматривал многочлены с рациональными коэффицентами, и ему требовалось единственность факторизации в Z[x].
Что не так?
Спасибо. Я это в нескольких около-математических тредах спрашивал, но никто не давал ответа.
Бунп
че ты тут бунп
Я умею находить квадратный корень (дискриминантом и теоремой миньета)
>теоремой миньета
виета
Да точно
Когда же вы запомните? Теорема Виета нужна не для нахождения корней.
> миньета
Репорт.
А для чего она нужна?
