Как можно определить понятие натурального числа через более элементарные понятия? Но только без скрытой рекурсии.
Никак. Это аксиоматическое понятие. Что-то типа заряда в физике.
Почему?
Для создания какой-либо системы необходимы базовые понятия, через которые будут выражаться другие. Других систем не бывает.
Да хоть через теорию множеств.
Вики бы открыл и почитал.
Ну это общее замечание, а почему не существует более простого понятия чем N, и как это обосновывают? В книжках по мат логике пытаются же обосновать теорию натурального ряда, хотя все рассуждения делают с использованием той же индукции. Вот это, например, мне не понятно.
Если ты про наивную теорию множеств, то:
1) это как стрелять термоядом по по мухам - ты используешь (намного) более мощное понятие чтобы описать менее мощное как его частный случай. В принципе это и есть неявная рекурсия, которую я отсёк в ОП посте.
2) она вообще противоречива
Если имел ввиду какую-то формальную систему обосновывающую теорию множеств, то она до определения множества уже содержит в себе понятие натурального числа (хотя бы потому, что обычно требуют счетного числа символов, а главное вовсю использую индукцию которая и есть натуральное число).
>а почему не существует более простого понятия чем N
Может и существует, но раз математики не дошли до понятия такого рода, то вероятно его просто нет. Или люди просто не могу выявить такого понятия, что менее вероятно.
>и как это обосновывают
Думаю никак.
:(
Аксиоматическое определение
N - это такое множество, в котором выполнены следующие аксиомы ... бла-бла...
Но это не подходит, т.к. там есть "скрытая рекурсия", а именно, аксиома индукции.
"Теоретико-множественное"
0 = пустое множество
S(n) = n U {n}
т.е.
1 = S(0) = {0, {0}}
2 = S(S(1)) = {0, {0, {0}}}
и т.д.
Т.е. тут тоже есть "скрытая рекурсия".
1 = S(0) = {0}
2 = S(S(0)) = {0, {0}}
фикс
>Ну это общее замечание
Это не общее замечание, мудила, это самое что ни на есть фундаментальное замечание. Гугли теорему Гёделя о неполноте.
Теоремя Гёделя тут вообще никаким боком. Она относится к доказательставам, а вопрос про исходные понятия.
А что анон подразумевает под "скрытой рекурсией"? По моему аксиоматическое определение N как раз то, что нужно. Аксиома индукции не является рекурсией.
Скрытая рекурсия - в смысле неявное использование определяемого понятия в его определении (т.е. по сути оно не является определением).
Аксиоматическое определение N всё равно использует понятие натурального числа в аксиоме индукции.
>Аксиоматическое определение N всё равно использует понятие натурального числа в аксиоме индукции.
Каким образом?
1) Чтобы сформулировать эти аксиомы, тебе придётся начать с понятия формальных систем, а там ты все равно будешь использовать счетные множества и всякие "и т.д." или индукцию.
2) Чтобы доказать хоть что-то путное имея на руках только аксиомы Пеано ты все равно будешь оперировать счетными множествами.
3) Чтобы привести хотя бы одну интерпретацию аксимо Пеано нужно заранее располагать каким нибудь счётным множеством. А если так, то ты уже определил N.
Приведу аксиомы Пеано, чтобы было.
N называется множеством натуральных чисел, если существует некоторая функция S и выполнены следующие аксиомы:
1. В N содержится хотя-бы один элемент, назовём его 1.
2. Если x принадлежит N, то S(x) принадлежит N.
3. Не существует x из N, такого, что S(x) = 1.
4. Если [S(b) = a и S(c) = a], то b = c.
(аксиома индукции)
5. Если истинно P(1) и для любого n из N истинно [если P(n), то P(S(n))],
то для любого n из N истинно P(n).
--------------------------------
>там ты все равно будешь использовать счетные множества и всякие "и т.д."
ноуп
>индукцию
индукция не есть рекурсия. И нет, индукция там не нужна.
>Чтобы доказать хоть что-то путное имея на руках только аксиомы Пеано ты все равно будешь оперировать счетными множествами.
Но имея на руках аксиомы Пеано я, тем самым, имею на руках натуральные числа. В этом и есть смысл аксиом Пеано же.
>Чтобы привести хотя бы одну интерпретацию аксимо Пеано нужно заранее располагать каким нибудь счётным множеством
Нет, достаточно просто располагать любым множеством. Счётность/не счётность вообще никакой роли тут не играет. Понятие счётности вводится, когда уже есть натуральные числа.
>Формальные системы
Ты видимо имел в виду логику первого порядка и теорию множеств. Нет, там не нужна индукция, индукция нужна будет потом, уже после определения натуральных чисел.
> ноуп
Можно пример книги где это делается (ну или хотя бы нормально обсуждается, пусть даже кратко)? Я просмотрел практически все какие есть и ни в одной этого не увидел. Метаязык ВСЕГДА использует индуктивные определения как минимум и другие виды индукции при построениях и доказательствах простейших утверждений.
> индукция не есть рекурсия. И нет, индукция там не нужна.
Я не говорил, что индукция это рекурсия. Рекурсия понимается в общем смысле как сведение чего-то к самому себе. Неявная рекурсия - когда это делается неявно или неочевидно на первый взгляд. Индукция тоже понимается в широком смысле, т.е. когда строят схему бесконечного процесса через "и т.д.". Поэтому когда пытаются определить N в теории множеств как 0, {0}, {0, {0}}, ... - это не определение, так как содержит скрытую рекурсию в определении, которая проявляется в многоточии которое в свою очередь предполагает бесконечное увеличение на 1 (индукция). Но в этом и есть суть натурального числа, это всё равно что понимать его непосредственно как первоначальное понятие.
> Но имея на руках аксиомы Пеано я, тем самым, имею на руках натуральные числа. В этом и есть смысл аксиом Пеано же.
Во-первых ты не построишь множество которое им удовлетворяет, чтобы доказать существование без привлечения содержательного понятия натурального числа. Во-вторых на метаязыке, когда ты будешь доказывать хоть что-то нетривиальное, ты все равно должен будешь чисто технически использовать натуральные числа в той или иной форме.
Cмысл аксиом Пеано иметь кодирование (я сознательно не употребляю термин определеие потому, что строго говоря оно им не является) N в какой либо формальной системе и всё. На метаязыке который все это формулирует всё равно используют натуральные числа, иначе ты в своих рассуждениях с места не сдвинешься.
> Нет, достаточно просто располагать любым множеством. Счётность/не счётность вообще никакой роли тут не играет. Понятие счётности вводится, когда уже есть натуральные числа.
Возвращаемся к первому вопросу. Надо пример систематического изложения где бы метаязык обходился без скрытого использования N. Я таких не встречал и не вижу принципиальной возможности как это можно сделать.
>Можно пример книги где это делается
К сожалению, не знаю книг, в которых бы строго, от начала и до конца, были бы последовательно изложены основания математики. Сам бы с удовольствием почитал.
>доказать существование
Для определения понятия и доказательства теорем не обязательно доказывать существование (если только это не теоремы о существовании).
>когда ты будешь доказывать хоть что-то нетривиальное, ты все равно должен будешь чисто технически использовать натуральные числа в той или иной форме
Значит, я сначала докажу всё тривиальное, где не нужна индукция, потом определю N, а потом буду доказывать всё остальное.
>я сознательно не употребляю термин определеие потому, что строго говоря оно им не является
Это почему же?
>На метаязыке который все это формулирует всё равно используют натуральные числа
Пока что это сомнительное утверждение, мы же его обсуждаем.
>Надо пример систематического изложения где бы метаязык обходился без скрытого использования N. Я таких не встречал и не вижу принципиальной возможности как это можно сделать.
Принципиальная возможность на то и принципиальная, что её не видят. Видят конкретные построения.
Я ещё подумаю про формальное определение N с самого начала. Если что-то получится, напишу. Мне видится возможным использовать в качестве тривиальных понятий множество и отображение (функцию); ну и всякие кванторы всеобщности и существования.
Вот к примеру такое определение.
N -- это все формулы системы, в которой содержится единственный символ s (и соотв. формула s) и правило: две формулы A, B образуют формулу AB.
> Для определения понятия и доказательства теорем не обязательно доказывать существование (если только это не теоремы о существовании).
Как оперировать объектами которых возможно не существует?
> Значит, я сначала докажу всё тривиальное, где не нужна индукция, потом определю N, а потом буду доказывать всё остальное.
Так собственно в этом и вопрос, можно ли это сделать.
> Это почему же?
Ну я ж показал в тех преимерах, что понятие неявно ссылает на само себя.
> Принципиальная возможность на то и принципиальная, что её не видят. Видят конкретные построения.
Я всегда понимал принципиальную возможность как реальную, но по техническим причинам или другим соображениям не выполнимую здесь и сейчас. Допустим то же определение единицы у Бурбаки, которое нереально напечатать но в принципе это конечная, пусть и очень большая, запись.
> N -- это все формулы системы, в которой содержится единственный символ s (и соотв. формула s) и правило: две формулы A, B образуют формулу AB.
Опять же, вопрос в том, как далеко ты сможешь уйти с этим определением не привлекая интуитивное определение N. Во книжках этот трюк с использованием в определении только индуктивного перехода я встречал, но на метаязыке всё равно через пару страниц юзают индукцию.
Ты ведь даже не читал, да?
Перефразирую теорему для тебя: у любой непротиворечивой системы должна быть аксиома.
Поэтому нельзя определить натуральные числа без скрытой рекурсии и аксиом. Как и всю математику.
>Как оперировать объектами которых возможно не существует?
Добро пожаловать в удивительный мир математики. На самом деле, ни о каком математическом объекте нельзя абсолютно точно сказать, что он существует (кроме самых банальных понятий). Непротиворечивость какой-либо системы можно доказать только сведя её к другой системе, которая уже считается непротиворечивой.
>Я всегда понимал принципиальную возможность как реальную, но по техническим причинам или другим соображениям не выполнимую здесь и сейчас.
В данном контексте я имею в виду принципиальную возможность, как, например, возможность доказать истинность или ложность P=NP (пока не видно никаких конкретных построений, как это можно было бы сделать. Но, тем не менее, это принципиально возможно).
>Во книжках этот трюк с использованием в определении только индуктивного перехода я встречал, но на метаязыке всё равно через пару страниц юзают индукцию.
Возможно. Нужно найти самую годную книжку по основаниям математики, прочитать, и разобрать, что там пишут.
>Как оперировать объектами которых возможно не существует?
Так математические абстракций и не существуют, на то они и абстракций. Описания их взаимосвязи с прочей математической структурой, и есть их существование. Тем самым математические объекты, есть совокупность доказанных взаимосвязей.
Она не только не о том, но и в некотором смысле отвечает на диаметрально противоположный вопрос. Тред о базовых понятиях, с которых всё начинается. Теоремя Гёделя действует в другую сторону, она утверждает, что какой бы богатой не была система аксиом, найдётся истинное утверждение которое в рамках этой системы недоказуемо.
> Добро пожаловать в удивительный мир математики. На самом деле, ни о каком математическом объекте нельзя абсолютно точно сказать, что он существует (кроме самых банальных понятий). Непротиворечивость какой-либо системы можно доказать только сведя её к другой системе, которая уже считается непротиворечивой.
Именно поэтому нужно чётко определить все исходные понятия и методы используемые при таком сведении одного к другому чтобы в них не содержалось замкнутых кругов.
> Так математические абстракций и не существуют, на то они и абстракций. Описания их взаимосвязи с прочей математической структурой, и есть их существование. Тем самым математические объекты, есть совокупность доказанных взаимосвязей.
Речь как бы о математическом существовании, в каком бы смысле оно не понималось (есть же разные направления в философии математики) но даже в наивной математике обсуждается на каждом углу. Одно дело когда в содержательной математике никто не парится о строгих формализмах и исходных понятиях (там это просто неудобно), но когда мы говорим об основаниях математики такие отмазки не прокатят, потмоу что в этом смысл этого раздела математики чтобы ОБОСНОВАТЬ используемые методы. Иначе какой смысл городить все эти формализмы, если они только что и могут дать видимость обоснования средств обычной математики при помощи ровно тех же средств доказательств? Это вообще на обоснование математики не тянет, а выглядит как какое-то бесполезное упражение.
Что ты понимаешь под математической структурой?
Я не совсем в теме, поэтому могу написать бред, но все же.
Натуральное число - это совокупность знаков связываемая с группой предметов, использующаяся для упрощения передачи информации.
То есть вместо - мне нужно яблоко и яблоко - мы говорим два яблока.
Вместо - мне нужен апельсин, апельсин, апельсин, апельсин, апельсин и апельсин - мы говорим шесть апельсинов.
Определения и закономерности операций сложения, вычитания и пр. с натуральными числами выводятся эмпирически, путем манипуляций с реальными предметами.
Индукция, локк, юм, лох,пидр, шучу
В этом определении не используется индукция.
Ну и до скольки реальных предметов ты дооперируешься? А всего натуральных числе в идеале нужно бесконечно много.
До скольких хочешь. Остальные числа создаются путем манипуляций с уже определенными базовыми знаками.
Тогда это и есть индуктивное определение.
Ну иди из названия: Натуральные числа -> обозначение символами [количества] [натур] .. Определись с понятием натура и количество. И будет тебе определение.
В самом определении натурального числа никакой индукции нет.
>Натуральное число - это совокупность знаков связываемая с группой предметов, использующаяся для упрощения передачи информации.
Индуктивное умозаключение используется уже после того как мы определили что такое натуральное число.
Тобою называемые аксиоматические понятия даются предметно. К примеру, представь вибратор. Ты знаешь, что он так называется, но, рядом стоящий с тобой, друг не знает. Он спрашивает тебя: Что это за дивная штуковина? А ты ему такой это: твоя мамка))0 Получается вибратор для него станет "твоя мамка".
Структура - совокупность отношений элементов. Элемент структуры это такой объект, который полностью определятся через свои отношения с другими элементами структуры. Математические структуры - конкретные математические формальная система. Формальная система состоит из базовых элементов, которые полностью задаются через описание их отношений друг с другом - аксиомы, и полнота их существования заключается в описаний этих отношений. Теорема - следствие из аксиом, доказанное уточнение взаимосвязи элементов. Любой элемент исчерпывающе описывается через другие элементы и бессмысленно говорить об элементах вне их взаимодействий.
Число не дается предметно. Нет такого предмета натуральное число, это математическая абстракция созданная разумом для оптимизаций своей деятельности, возможно (о цели их создания не уверен). Ты не можешь увидеть, понюхать, пощупать или полизать натуральное число, скажем, пять. Смотря, на пальцы на руках ты не видишь число пять, ты видишь просто свои пальцы, их количестве не содержится в них самих, а присваивается твоим умом.
сажа
А как тебе: порядковый номер любых дискретных вещей, вплоть до бесконечно большого ряда вещей.
Если не устроит, то могу описать через свойства множества N, которые его математически характеризуют.
История показывает, что пересматривая аксиоматические понятия и вроде как копая вглубь формальной системы, мы неожиданно открываем дополнительные измерения и проталкиваясь вглубь мы почему-то разрастаемся вширь, попадая в гораздо более широкую систему. Заметил такое, но не понял почему так.
